위상 정렬

  1. 위상정렬이란?

 

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미.
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?

• 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘 (O)
• 자료구조 -> 고급 알고리즘 -> 알고리즘 (X)

 

 

2. 진입차수와 진출차수

 

• 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

3. 위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같음.
• 1. 진입 차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음.
• 2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복.
• 2-1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거.
• 2-2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

=> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음.

 

 

 

4. 위상 정렬 예시

 

위상 정렬을 수행할 그래프를 준비.

• 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프 (DAG)여야 함.

• [초기 단계] 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음. (처음에 노드1이 큐에 삽입)
• [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 2] 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 3] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 4] 큐에서 노드 3을 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 5] 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 6] 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입)
• [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거. (새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없음)

[위상 정렬 결과]

• 큐에 삽입된 전체 노드 순서 :  1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 - > 4 -> 7

 

5. 위상 정렬의 특징

 

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있음.    DAG(Direct Acyclic Graph) : 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있음. (한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우)
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단. (사이클에 포함된 원소는 큐에 들어가지 못함)
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있음.

 

6. 위상 정렬 알고리즘 (code)

 

 

7. 위상 정렬 알고리즘 성능 분석

 

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거 해야함.
• 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E)